题目

题型：江苏省中考真题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点。

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax²+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积。

答案

解：（1）因为当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-4，3）、B（2，0）代入到y=ax²+bx+c，得
 ，解得
∴这条抛物线的解析式为y=x²-1
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得
，解得
∴这条直线的解析式为y=-x+1。
（2）依题意，OA=
即⊙A的半径为5
而圆心到直线l的距离为3+2=5
即圆心到直线l的距离=⊙A的半径，
∴直线l与⊙A相切。
（3）由题意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1，）
由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，
点P坐标（-1，-），此时四边形PDOC为梯形，面积为。