题目

题型：甘肃省中考真题难度：来源：

一条抛物线y=x²+mx+n经过点（0，3）与（4，3）。
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标；
（3）⊙P能与两坐标轴都相切吗？如果不能，试通过上下平移抛物线y=x²+mx+n，使⊙P与两坐标轴都相切。（要说明平移方法）

答案

解：（1）∵抛物线过（0，3）（4，3）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式是y=x²-4x+3，顶点坐标为（2，-1）；
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），
当⊙P与y轴相切时，有|x₀|=1，
∴x₀=±1，
由x₀=1，得y₀=1²-4+3=0；
由x₀=-1，得y0=（-1）²-4（-1）+3=8，
此时，点P的坐标为P₁（1，0），P₂（-1，8），
当⊙P与x轴相切时，有|y₀|=1，
∴y₀=±1，
由y₀=1，得x₀^2-4x₀+3=1，解得x₀=2±；
由y₀=-1，得x₀²-4x₀+3=-1，解得x₀=2，
此时，点P的坐标为P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1），
综上所述，圆心P的坐标为：P₁（1，0），P₂（-1，8），P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）；
 （3）由（2）知，不能，
设抛物线y=x²-4x+3上下平移后的解析式为y=（x-2）²-1+h，
若⊙P能与两坐标轴都相切，则|x₀|=|y₀|=1，
即x₀=y₀=1；或x₀=y₀=-1；或x₀=1，y₀=-1；或x₀=-1，y₀=1，
取x₀=y₀=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=1，
∴ 只需将向上平移1个单位，就可使与两坐标轴都相切。