题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，二次函数y=ax²-5ax+4a（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连接BD。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1：2的两部分，求m的值。

答案

解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点
∴ax²-5ax+4a=0
∵a≠0
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4
∴A（1，0），B（4，0）。（2）连结AC、CD，
由对称性知：四边形ABDC 是等腰梯形
∴∠CAB=∠DBA
在△ABC与△BAD中，AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA
∴△ABC≌△BAD
∴∠1=∠2
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C（0，4）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4。（3）S_△ABD=×3×4=6
设直线x=m与AD、AB分别交于M、N，
则AN=m-1
由（2）得∠1=45°，∠2=90°
∴MN=AN=m-1
∴S_△AMN=（m-1）²
当S_△AMN=S_△ABD时，（m-1）²=×6 　　
解得m=3（负值舍去）
当S_△AMN=S_△ABD时，（m-1）²=×6
解得m=+1（负值舍去）
过B作BE⊥AB交AD于E，则S_△ABE=4.5，
S_△ABD=4，
∵4.5＞4
∴点N在线段AB上　
∴m＜4
综上所述，m的值为3或+1。