题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax²+bx-4过A、D、F三点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S_{四边形AFQM}=S_△FQN，则判断四边形AFQM的形状；
（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）依条件有，
由知，
∴由得，
∴，
将A、F的坐标代入抛物线方程，
得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设，
∴
设，则
∴，
∴（舍去）
此时点M与点D重合，
则为等腰梯形；
（3）在射线上DB存在一点P，在射线CB上存在一点H，
使得，且成立，证明如下：
当点P如图①所示位置时，不妨设，过点P作，
垂足分别为，
若，由得：，
∴
∴
又
∴
∴
当点P在如图②所示位置时，过点P作，
垂足分别为M、N，
同理可证，

又，
，
∴
当在P如图③所示位置时，过点P作，垂足为N，延长线，垂足为M，
同理可证，
∴。