题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图所示，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y=-x+3，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E。

（1）求A、B、C三个点的坐标；
（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN。
①求证：AN=BM；
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值。

答案

解：（1）令，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0）
∵
∴抛物线的对称轴为直线x=1
将x=1代入，得
∴。
（2）①在Rt△ACE中，tan∠CAE=
∴∠CAE=60°，由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB= 60°，
又∵AM=AP，BN=BP，
∴BN=CM，
∴△ABN≌△BCM，
∴AN=BM。
②四边形AMNB的面积有最小值
设AP=m，四边形AMNB的面积为S
由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S_△ABC=×4²=，
∴CM=BN=BP=4-m，CN=m，
过M作MF⊥BC，垂足为F
则MF=MC·sin60°=
∴S_△CMN===
∴S=S_△ABC-S_△CMN


∴m=2时，S取得最小值3。