题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时。

（1）P点的坐标为_______（用含t的代数式表示）；
（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜4）；
（3）当t=______秒时，S有最大值，最大值是______；
（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式。

答案

解：（1）；
（2）在中，，边上的高为
∴
即。
（3）；（4）由（3）知，当S有最大值时，，此时N在BC的中点处，如图
设，则


∵为等腰三角形
①若，则，此时方程无解
②若，即，解得
③若，即，解得
∴
当Q为时，设直线AQ的解析式为
将代入得
∴
∴直线AQ的解析式为
当Q为时，均在x轴上
直线AQ的解析式为
当Q为（0，6）时，Q、N、A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去，
故直线AQ的解析式为，或。