题目

题型：同步题难度：来源：

已知抛物线y=ax²﹣2x+c与它的对称轴相交于点A（1，﹣4），与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线AC交x轴于D，P是线段AD上一动点（P点异于A，D），过P作PE∥x轴交直线AB于E，过E作EF⊥x轴于F，求当四边形OPEF的面积等于时点P的坐标．

答案

解：（1）由题意，知点A（1，﹣4）是抛物线的顶点，
∴
∴a=1，c=﹣3，
∴抛物线的函数关系式为y=x²﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，点C的坐标是（0，﹣3）．
设直线AC的函数关系式为y=kx+b，
则
∴b=﹣3，k=﹣1，
∴y=﹣x﹣3．
由y=x²﹣2x﹣3=0，得x₁=﹣1，x₂=3
∴点B的坐标是（3，0）．
设直线AB的函数关系式是y=mx+n，
则 
∴m=2，n=﹣6．
∴直线AB的函数关系式是y=2x﹣6．
设P点坐标为（x_P，y_P），则y_P=﹣x_P﹣3．
∵PE∥x轴，
∴E点的纵坐标也是﹣x_P﹣3．
设E点坐标为（x_E，y_E），
∵点E在直线AB上，
∴﹣x_P﹣3=2x_E﹣6，
∴x_E=．
∵EF⊥x轴，
∴F点的坐标为（，0），
∴PE=x_E﹣x_P=，OF=，EF=﹣（﹣x_P﹣3）=x_P+3，
∴S_{四边形OPEF}=（PE+OF）·EF=（+）·（x_P+3）=，
2x_P²+3x_P﹣2=0，
∴x_P=﹣2，，
当y=0时，x=﹣3，
而﹣3＜﹣2＜1，，
∴P点坐标为和（﹣2，﹣1）.