题目

题型：中考真题难度：来源：

我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C₂。
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C₁于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；
（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C₁或C₂上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）由于抛物线C₁、C₂都过点A（﹣3，0）、B（3，0），
可设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）；
抛物线C₁还经过D（0，﹣3），
则有：﹣3=a（0﹣3）（0+3），a=
即：抛物线C₁：y=x²﹣3（﹣3≤x≤3）；
抛物线C₂还经过A（0，1），则有：1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣
即：抛物线C₂：y=﹣x²+1（﹣3≤x≤3）；
（2）由于直线BE：y=x﹣1必过（0，﹣1），
所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）；
由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，
所以它们的补角∠EOB≠∠CBx；
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：
①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，
即：3：=BP₁：，得：BP₁=，OP₁=OB﹣BP₁=；
∴P₁（，0）；
②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，
即：：BP₂=3：，得：BP₂=，OP2=BP2﹣OB=；
∴P₂（﹣，0），
综上，符合条件的P点有：P₁（，0）、P₂（﹣，0）；
（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=x+b；
①当直线l与抛物线C₁只有一个交点时：x+b=x2﹣3，
即：x²﹣x﹣（3b+9）=0
∴该交点Q₂（，﹣）；
Q₂到直线 BE：x﹣y﹣1=0 的距离：==；
②当直线l与抛物线C₂只有一个交点时：x+b=﹣x²+1，
即：x²+3x+9b﹣9=0
∴该交点Q₁（﹣，）；
Q₁到直线 BE：x﹣y﹣1=0 的距离：=；
∴符合条件的Q点为Q₁（﹣，）；
△EBQ的最大面积：S_max=×BE×=。