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题目
题型:中考真题难度:来源:
我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直接坐标系如图①所示,如果把锅纵断面的抛物线的记为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2
(1)求C1和C2的解析式;
(2)如图②,过点B作直线BE:y=x﹣1交C1于点E(﹣2,﹣),连接OE、BC,在x轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,求出P点的坐标;
(3)如果(2)中的直线BE保持不变,抛物线C1或C2上是否存在一点Q,使得△EBQ的面积最大?若存在,求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)由于抛物线C1、C2都过点A(﹣3,0)、B(3,0),
可设它们的解析式为:y=a(x﹣3)(x+3);
抛物线C1还经过D(0,﹣3),
则有:﹣3=a(0﹣3)(0+3),a=
即:抛物线C1:y=x2﹣3(﹣3≤x≤3);
抛物线C2还经过A(0,1),则有:1=a(0﹣3)(0+3),a=﹣
即:抛物线C2:y=﹣x2+1(﹣3≤x≤3);
(2)由于直线BE:y=x﹣1必过(0,﹣1),
所以∠CBO=∠EBO(tan∠CBO=tan∠EBO=);
由E点坐标可知:tan∠AOE≠,即∠AOE≠∠CBO,
所以它们的补角∠EOB≠∠CBx;
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似,只需考虑两种情况:
①∠CBP1=∠EBO,且OB:BE=BP1:BC,
即:3:=BP1,得:BP1=,OP1=OB﹣BP1=
∴P1,0);
②∠P2BC=∠EBO,且BC:BP2=OB:BE,
即::BP2=3:,得:BP2=,OP2=BP2﹣OB=
∴P2(﹣,0),
综上,符合条件的P点有:P1,0)、P2(﹣,0);
(3)如图,作直线l∥直线BE,设直线l:y=x+b;
①当直线l与抛物线C1只有一个交点时:x+b=x2﹣3,
即:x2﹣x﹣(3b+9)=0
∴该交点Q2,﹣);
Q2到直线 BE:x﹣y﹣1=0 的距离:==
②当直线l与抛物线C2只有一个交点时:x+b=﹣x2+1,
即:x2+3x+9b﹣9=0
∴该交点Q1(﹣);
Q1到直线 BE:x﹣y﹣1=0 的距离:=
∴符合条件的Q点为Q1(﹣);
△EBQ的最大面积:Smax=×BE×=
核心考点
试题【我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+42 交x 轴于点A ,交直线y=x 于点B ,抛物线y=ax2-2x+c 分别交线段AB 、OB 于点C 、D ,点C 和点D 的横坐标分别为16 和4 ,点P 在这条抛物线上。
(1)求点C、D的纵坐标;
(2)求a、c的值;
(3)若Q为线段OB上一点,P、Q两点的纵坐标都为5,求线段PQ的长;
(4)若Q为线段OB 或线段AB上一点,PQ⊥x轴,设P、Q两点间的距离为d(d >0 ),点Q的横坐标为m,直接写出d随m 的增大而减小时m的取值范围。[ 参考公式:二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0 )图象的顶点坐标为]
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE,点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止.点P在AD上以cm/s的速度运动,在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时,过点P作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t(s);
(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为_______cm,(用含t的代数式表示);
(2)当点N落在AB边上时,求t的值;
(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(4)连结CD.当点N于点D重合时,有一点H从点M出发,在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动,直至点P与点E重合时,点H停止往返运动;当点P在线段EB上运动时,点H始终在线段MN的中点处.直接写出在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上。
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如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数的图象经过B、C两点。
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数的图象探索:当y>0时x的取值范围。
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如图,已知一次函数y1=kx+b图象与x 轴相交于点A,与反比例函数y2=的图象相交于B(-1,5)、C(,d)两点,点P (m ,n )是一次函数y1=kx+b的图象上的动点。
(1)求k、b的值;
(2)设-1<m<,过点P作x轴的平行线与函数y2=的图象相交于点D,试问△PAD的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设m=1-a,如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数,求实数a的取值范围。
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如图,已知二次函数L1:y=x2-4x+3 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C。
(1)写出A 、B 两点的坐标;
(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k (k ≠0 ),顶点为P。
①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②是否存在实数k ,使△ABP 为等边三角形?如果存在,请求出k 的值;如不存在,请说明理由;
③若直线y=8k 与抛物线L2 交于E 、F 两点,问线段EF 的长度是否会发生变化?如果不会,请求出EF 的长度;如果会,请说明理由。
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