题目

题型：松江区二模难度：来源：

已知抛物线y=2x²-2（m-1）x-m．
（1）求证：无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于点A（x₁，0）、点B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂．
①当OA+OB=2时，求此抛物线的解析式；
②若抛物线与y轴交于点C，是否存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形；若存在，求出抛物线的解析式；若不存在，说明理由．

答案

（1）∵和抛物线y=2x²-2（m-1）x-m对应的一元二次方程为2x²-2（m-1）x-m=0，
∵△=4（m-1）²+8m（1分）=4m²+4，
∵m²≥0，
∴4m²+4＞0，
∴△＞0，
∴方程2x²-2（m-1）x-m=0必有两个不相等的实数根，
∴无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点．（1分）

（2）由题意可知x₁，x₂是方程x²-4x+3（m-1）=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-

m

2

，（1分）
①∵x₁＜0＜x₂，
∴OA=-x₁，OB=x₂，
∴OA+OB=-x₁+x₂，
∴-x₁+x₂=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，（1分）
∴（m-1）²-4×（-

m

2

）=4，
解得：m=±

3

，（1分）
∵x₁•x₂＜0，
∴m＞0，
∴m=

3

，
∴所求抛物线的解析式为y=2x²-2（

3

-1）x-

3

，（1分）
②设存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形，
∵点A、B分别在原点的两侧，点C（0，-m），
∴只可能有∠ACB=90°，（1分）
又∵点A（x₁，0）、点B（x₂，0），且AC²+BC²=AB²，
∴x₁²+m²+x₂²+m²=（x₂-x₁）²，
∴m²=

m

2

，
解得m=0或m=

1

2

（1分）
但m=0不合题意，舍去，
∴m=

1

2

，
∴y=2x²+x-

1

2

，
∴存在抛物线y=2x²+x-

1

2

，使△ABC为直角三角形（1分）