题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，3

3

），将△OAC绕AC的中点G旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax²-2

3

x经过点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是x轴上A点左边的一个动点，当以P、A、D为顶点的三角形与△OAB相似时，求出点P的坐标；
（4）若点M是y轴上的一个动点，要使△MAD的周长最小，请直接写出点M的坐标．

答案

（1）将A（2，0）代入y=ax²-2

3

x得，
4a-4

3

=0，
解得a=

3

，
∴抛物线的解析式为y=

3

x²-2

3

x；

（2）由旋转知，四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=AO，
∵A（2，0）、C（1，3

3

），
∴x_B=1+2=3，y_B=y_C=3

3

，
∴B（3，3

3

），
将B（3，3

3

）代入y=

3

x²-2

3

x得，

3

×3²-2

3

×3=3

3

，
∴点B在抛物线上；

（3）过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
由y=

3

x²-2

3

x=

3

（x-1）²-

3

得顶点D（1，-

3

），
∵B（3，3

3

），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，tan∠BOE=

BE

OE

=

3 3

3

=

3

，
tan∠DAF=

DF

AF

=

3

2-1

=

3

，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
∵OA=2，OB=

32+(3 3 )2

=6，
AD=

(2-1)2+( 3 )2

=2，
∴△APD和△OAB相似分如下两种情况：
①APD=∠OAB时△APD和△OAB相似，
∴

AP

OA

=

AD

OB

，
即

AP

2

=

2

6

，
解得AP=

2

3

，
∴OP=OA-AP=2-

2

3

=

4

3

，
∴点P的坐标为（

4

3

，0）；
②∠APD=∠OBA时△APD和△OBA相似，
∴

AP

OB

=

AD

OA

，
即

AP

6

=

2

2

，
解得AP=6，
∴OP=AP-OA=6-2=4，
∴点P的坐标为（-4，0），
综上所述，点P（

4

3

，0）或（-4，0）；

（4）点A（2，0）关于y轴的对称点A′坐标为（-2，0），
根据轴对称确定最短路线，直线A′D与y轴的交点即为使△MAD的周长最小的点M的位置，
设直线A′D的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=0 k+b=- 3

，
解得

k=- 3 3 b=- 2 3 3

，
∴直线A′D的解析式为y=-

3

3

x-

2 3

3

，
x=0时，y=-

2 3

3

，
∴点M的坐标为（0，-

2 3

3

）．