题目
题型:不详难度:来源:
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(1)求证:mn=-6;
(2)当S△AOB=10时,抛物线经过A,B两点且以y轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式;
(3)在(2)的条件下,设直线AB交y轴于点F,过点F作直线l交抛物线于P,Q两点,问是否存在直线l,使S△POF:S△QOF=1:3?若存在,求出直线l对应的函数关系式;若不存在,请说明理由.
答案
∵A,B点坐标分别为(m,6),(n,1),
∴BC=1,OC=-n,OD=m,AD=6,
又OA⊥OB,
易证△CBO∽△DOA,
∴
CB |
CO |
DO |
DA |
∴
1 |
m |
-n |
6 |
∴mn=-6.
(2)由(1)得,∵△CBO∽△DOA,
∴
OB |
OA |
BC |
OD |
1 |
m |
又∵S△AOB=10,
∴
1 |
2 |
即OB•OA=20,
∴mBO2=20,
又OB2=BC2+OC2=n2+1,
∴m(n2+1)=20,
∵mn=-6,
∴m=2,n=-3,
∴A坐标为(2,6),B坐标为(-3,1),易得抛物线解析式为y=-x2+10.
(3)直AB为y=x+4,且与y轴交于F(0,4)点,
∴OF=4,
假设存在直线l交抛物线于P,Q两点,且使S△POF:S△QOF=1:3,如图所示,
则有PF:FQ=1:3,作PM⊥y轴于M点,QN⊥y轴于N点,
∵P在抛物线y=-x2+10上,
∴设P坐标为(x,-x2+10),
则FM=OM-OF=(-x2+10)-4=-x2+6,
易证△PMF∽△QNF,
∴
PM |
QN |
MF |
FN |
PF |
QF |
1 |
3 |
∴QN=3PM=-3x,NF=3MF=-3x2+18,
∴ON=-3x2+14,
∴Q点坐标为(-3x,3x2-14),
∵Q点在抛物线y=-x2+10上,
∴3x2-14=-9x2+10,
解得:x=-
2 |
∴P坐标为(-
2 |
2 |
∴易得直线PQ为y=2
2 |
根据抛物线的对称性可得直线PQ另解为y=-2
2 |
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核心考点
试题【如图,已知平面直角坐标系xOy中,点A(m,6),B(n,1)为两动点,其中0<m<3,连接OA,OB,OA⊥OB.(1)求证:mn=-6;(2)当S△AOB=】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)AC=______;
(2)设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S,用x表示S的函数表达式为S=______.
(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?
(4)总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?
(1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标;
(2)若四边形EAMD的面积为4
3 |
(3)抛物线上是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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(1)求圆心M的坐标;
(2)求⊙M上劣弧AB的长;
(3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC和MD互相平分?若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式;
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P到A、C两点距离之差最大?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求y1、y2关于x的函数关系式;
(2)哪天上市这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱?
(3)哪天上市的蔬菜的利润最大?
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