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题目
题型:不详难度:来源:
如图,当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B(A在B的右边).
(1)求抛物线的解析式.
(2)D是线段AC的中点,E为线段AC上的一动点(不与A,C重合),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出点p的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意可设抛物线的关系式为
y=a(x-2)2-1
因为点C(0,3)在抛物线上
所以3=a(0-2)2-1,即a=1
所以,抛物线的关系式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3;

(2)令y=0,即x2-4x+3=0,
得点A(3,0),B(1,0),线段AC的中点为D(
3
2
3
2

直线AC的函数关系式为y=-x+3
因为△OAC是等腰直角三角形,
所以,要使△DEF与△AOC相似,△DEF也必须是等腰直角三角形.
由于EFOC,因此∠DEF=45°,
所以,在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点.
当F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF△ACO,DF所在直线为y=
3
2

由x2-4x+3=
3
2

解得x=
4-


10
2
,x=
4+


10
2
>3
(舍去)
x=
4-


10
2
代入y=-x+3,
得点E(
4-


10
2
2+


10
2
)

当D为直角顶点时,DF⊥AC,此时△DEF△OAC,由于点D为线段AC的中点,
因此,DF所在直线过原点O,其关系式为y=x.
解x2-4x+3=x,得x=
5-


13
2
x=
5+


13
2
>3
(舍去)
x=
5-


13
2
代入y=-x+3,
得点E(
5-


13
2
1+


13
2
).
则E的坐标是:(
4-


10
2
2+


10
2
)或(
5-


13
2
1+


13
2
).

(3)点P的坐标为:(2,
3+


17
2
),(2,
3-


17
2
),(2,
1
2
),(2,


14
2
),(2,-


14
2
)
核心考点
试题【如图,当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B(A在B的右边).(1)求抛物线的解析式.(2)D是】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息:

(1)请解答小华提出的问题;
(2)能否获得比800元更多的利润?若能,请举例说明;若不能,试说明理由.
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(经过原点)与x轴相交于N点,直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点,与抛物线相交于B(1,m)和C(2,2)两点.
(1)求直线与抛物线的表达式;
(2)求证:C点是△AOD的外心;
(3)若(1)中的抛物线,在x轴上方的部分,有一动点P(x,y),设∠PON=α.当sinα为何值时,△PON的面积有最大值?
(4)若P点保持(3)中运动路线,是否存在△PON,使得其面积等于△OCN面积的
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?若存在,求出动点P的位置;若不存在,请说出理由.
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A(-1,0)、B(4,0).点M、N在x轴上,点N在点M右侧,MN=2.以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN,∠CMN=90°.设点M的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.
(2)求点C在这条抛物线上时m的值.
(3)将线段CN绕点N逆时针旋转90°后,得到对应线段DN.
①当点D在这条抛物线的对称轴上时,求点D的坐标.
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE,当点E在这条抛物线的对称轴上时,直接写出所有符合条件的m值.
(参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
))
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如图,在直角坐标系中,二次函数的顶点为C(4,-3),且在x轴上截得的线段AB=6,则二次函数的表达式为______;若抛物线与y轴交于点D,则四边形DACB的面积是______.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A在x轴负半轴,点B在x轴正半轴,与y轴交于点C,且tan∠ACO=
1
2
,CO=BO,AB=3,求这条抛物线的函数解析式.
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