题目

题型：不详难度：来源：

如图，对称轴为直线x=-

7

2

的抛物线经过点A（-6，0）和点B（0，4）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求▱OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．•

答案

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+

7

2

）²+k（k≠0），
则依题意得：

24

25

a+k=0，

49

4

a+k=4
解之得：a=

2

3

，
k=-

25

6

即：y=

2

3

（x+

7

2

）²-

25

6

，顶点坐标为（-

7

2

，-

25

6

）；

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，且位于第三象限．
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

×0A×（-y）
=-6y
=-4（x+

7

2

）²+25 （-6＜x＜-1）；
①当S=24时，即-4（x+

7

2

）²+25=24，
解之得：x₁=-3，x₂=-4
∴点E为（-3，-4）或（-4，-4）
当点E为（-3，-4）时，满足OE=AE，故□OEAF是菱形；
当点E为（-4，-4）时，不满足OE=AE，故□OEAF不是菱形．
②不存在．
当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标为（-3，-3），
而点E不在抛物线上，故不存在点E，使□OEAF为正方形．