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题目
题型:不详难度:来源:
如图,对称轴为直线x=-
7
2
的抛物线经过点A(-6,0)和点B(0,4).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上的一个动点,且位于第三象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求▱OEAF的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
①当▱OEAF的面积为24时,请判断▱OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使▱OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.•
答案
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+
7
2
2+k(k≠0),
则依题意得:
24
25
a+k=0,
49
4
a+k=4
解之得:a=
2
3

k=-
25
6

即:y=
2
3
(x+
7
2
2-
25
6
,顶点坐标为(-
7
2
,-
25
6
);

(2)∵点E(x,y)在抛物线上,且位于第三象限.
∴S=2S△OAE=2×
1
2
×0A×(-y)
=-6y
=-4(x+
7
2
2+25 (-6<x<-1);
①当S=24时,即-4(x+
7
2
2+25=24,
解之得:x1=-3,x2=-4
∴点E为(-3,-4)或(-4,-4)
当点E为(-3,-4)时,满足OE=AE,故□OEAF是菱形;
当点E为(-4,-4)时,不满足OE=AE,故□OEAF不是菱形.
②不存在.
当0E⊥AE且OE=AE时,□OEAF是正方形,此时点E的坐标为(-3,-3),
而点E不在抛物线上,故不存在点E,使□OEAF为正方形.
核心考点
试题【如图,对称轴为直线x=-72的抛物线经过点A(-6,0)和点B(0,4).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)设点E(x,y)是抛物线上的一个动点,且位于第】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知抛物线过点A(-1,0),B(0,6),对称轴为直线x=1
(1)求抛物线的解析式;
(2)画出抛物线的草图;
(3)根据图象回答:当x取何值时,y>0.
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一座拱型桥,桥下的水面宽度AB是20米,拱高CD是4米.若水面上升3米至EF,则水面宽度EF为多少?

(1)若把它看作抛物线的一部分,在坐标系中(如图①),可设抛物线的表达式为y=ax2+c.请你填空:a=______,c=______,EF=______米;
(2)若把它看作圆的一部分,可构造图形(如图②)请你计算:
(3)请你估计(2)中EF与(1)中的EF的差的近似值(误差小于0.1米).
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手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?最大面积是多少?
(参考公式:当x=-
b
2a
时,二次函数y=ax2+bx+c(a0)有最小(大)值
4ac-b2
4a
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如图所示,一个运动员推铅球,铅球在点A处出手,出手时球离地面约
5
3
m
.铅球落地点在B处,铅球运行中在运动员前4m处(即OC=4)达到最高点,最高点高为3m.已知铅球经过的路线是抛物线,根据如图所示的直角坐标系,你能算出该运动员的成绩吗?
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如图,已知抛物线y=
3
4
x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=
3
4t
x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:点C的坐标是______,b=______,c=______;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
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