题目

题型：不详难度：来源：

如图，在Rt△ABO中，OB=8,tan∠OBA=.若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在轴负半轴上，且OB＝4OC.若抛物线经过点A、B、C .

小题1:求该抛物线的解析式
小题2:设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积
小题3:有两动点M,N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动.设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S .
①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②判断在①的过程中,t为何值时，△OMN 的面积最大？

答案

 
小题1:Rt△AOB中,OB="8,"
∴OA="6   " ∴A(6,0)    B
又OB="4OC   " ∴OC="2     " ∴C
由题意 解得   
∴                                   3分
小题2:


∴                                         4分
作PQ⊥轴
∴,  
∴


                                               6分
小题3:∵AO="6, " OB="8    " ∴AB=10
运动的总时间为:(秒)
①当时, M在OA上,N在OB上,如图

∴                       7分
当时,如图,
M在OA上,N在AB上.
OM=

又   ∴
∴

                                   8分
当时,  M,N都在AB上,如图,
作OK⊥AB于K.
∵AB="10, " OA="6, " OB=8
∴   ∴OK=
又MN=
∴
                                   9分
综上所述:
②当时,,
S随增大而增大, 当时,                10分
当时,



∴当时,                              11分
当时, 
S随增大而减小, 当时,
综上所述,当时, △MON的面积最大为.         12分

解析

 略