题目

题型：不详难度：来源：

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示, A、C两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线与BC相交于D.

小题1:求点D的坐标;
小题2:若抛物线经过D、A两点, 试确定此抛物线的解析式
小题3:P为轴上方(2)中抛物线上一点, 求面积的最大值;
小题4:设(2)中抛物线的对称轴与OD交于点M, 点Q为对称轴上一动点, 以Q、O、M为顶点的三角形与相似, 求符合条件的Q点的坐标.

答案

小题1:
小题2:
小题3:
小题4:

解析

解：（1）直线与BC交于点D（x，3），
把y=3代入中得，x=4，
∴D（4，3）。
（2）∵抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，
把x=4，y=3；x=6，y=0分别代入y=ax²+bx中得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为：。
3）因△POA底边OA=6，
∴当S_△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，
∵<0，
∴抛物线顶点恰为最高点，
∵，
∴的最大值为。
4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，
∵CB∥OA，∠Q₁OM=∠CDO，
∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO，
∵，该点坐标为Q_1（3，0），
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q₂，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
∴Rt△Q₂MO∽Rt△DOC，
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中，
Q₁O=CO=3，∠Q₂=∠ODC，
∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO，
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵点Q₂位于第四象限，
∴Q₂（3，-4），
因此，符合条件的点有两个，
分别是Q₁（3，0），Q2（3，-4）。