题目

题型：不详难度：来源：

如图10，在平面直角坐标系中，正方形OABC边长是4，点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上.动点P从点A开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动.动点Q从点B开始沿B→C→O的方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动.P、Q两点同时出发，当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动.设运动时间为t，△OPQ的面积为S.
（1）当t =1时，S =          ；
（2）当0≤ t ≤ 2时，求满足△BPQ的面积有最大值的P、Q两点坐标；
（3）在P、Q两点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得S = 6.若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

答案

解：（1）5
（2）由题意可知，当0≤ t ≤ 2时，
PA="2" t，PB="4-2" t， BQ =" t," CQ =" 4-t"
S_△BPQ = PB ·BQ = t（4-2 t ）="-" t ²+2 t = -（t -1）² +1
当t =1时，S_△BPQ的最大值="1"
此时，P（2,4），Q（4,3）
（3）当0≤ t ≤ 2时，P（,4）
当2< t ≤ 4时，P（,4）
当4< t < 8时，P（2,4）

解析

（1）计算当相应线段的长，再从矩形中减去旁边三个三角形的面积即可；
（2）先求出△BPQ的面积的函数关系式，根据函数性质即可得到结果；
分0≤ t ≤ 2、2< t ≤ 4、4< t < 8三种情况讨论。