题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

答案

解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为：。
（2）①∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即，整理得：t²+5t﹣3=0，
解得（＜0，舍去）。
∴当秒时，四边形OMPQ为矩形。
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3。
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
（I）若ON=AN，如答图1所示，

过点N作ND⊥OA于点D，
则D为OA中点，OD=OA=，
∴t=。
（II）若ON=OA，如答图2所示，

过点N作ND⊥OA于点D，
设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD²+ND²=ON²，
即，解得x₁=，x₂=0（舍去）。
∴x=，OD=1﹣x=。
∴t=。
（III）若OA=AN，如答图3所示，

过点N作ND⊥OA于点D，
设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND²+AD²=AN²，
即，解得x₁=，x₂=（舍去）。
∴x=，OD=1﹣x=1﹣。
∴t=1﹣。
综上所述，当t为秒、秒，1﹣秒时，△AON为等腰三角形。

解析

（1）用待定系数法求出抛物线的顶点式解析式。
（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解。
②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，分类讨论，逐一计算。