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题目
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如图,在坐标系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线的图象过C点.

(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?
(3)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
答案
解:(1)如答图1所示,过点C作CD⊥x轴于点D,则∠CAD+∠ACD=90°。

∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OAB+∠CAD=90°,
∴∠OAB=∠ACD,∠OBA=∠CAD。
∵在△AOB与△CDA中,
∴△AOB≌△CDA(ASA)。
∴CD=OA=1,AD=OB=2。
∴OD=OA+AD=3。
∴C(3,1)。
∵点C(3,1)在抛物线上,
,解得:
∴抛物线的解析式为:
(2)在Rt△AOB中,OA=1,OB=2,由勾股定理得:AB=
∴SABC=AB2=
设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B(0,2),C(3,1),
,解得
∴直线BC的解析式为
同理求得直线AC的解析式为:
如答图1所示,设直线l与BC、AC分别交于点E、F,

在△CEF中,CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x.
由题意得:SCEF=SABC,即: EF•h=SABC
,整理得:(3﹣x)2=3。
解得x=3﹣或x=3+(不合题意,舍去)。
∴当直线l解析式为x=3﹣时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分。
(3)存在。如答图2所示,

过点C作CG⊥y轴于点G,则CG=OD=3,OG=1,BG=OB﹣OG=1。
过点A作AP∥BC,且AP=BC,连接BP,则四边形PACB为平行四边形。
过点P作PH⊥x轴于点H,
则易证△PAH≌△BCG。
∴PH=BG=1,AH=CG=3,∴OH=AH﹣OA=2。
∴P(﹣2,1)。
∵抛物线解析式为:,当x=﹣2时,y=1,即点P在抛物线上。
∴存在符合条件的点P,点P的坐标为(﹣2,1).。
解析
(1)首先构造全等三角形△AOB≌△CDA,求出点C的坐标;然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。
(2)首先求出直线BC与AC的解析式,设直线l与BC、AC交于点E、F,则可求出EF的表达式;根据SCEF=SABC,列出方程求出直线l的解析式;
(3)首先作出▱PACB,然后证明点P在抛物线上即可。
核心考点
试题【如图,在坐标系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线的图象过C点.(1)求抛物线的解析式;(2)平移该抛物线的】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
抛物线的顶点坐标是【   】
A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)

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阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得,同理,所以AB的中点坐标为.由勾股定理得,所以A、B两点间的距离公式为
注:上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立.
解答下列问题:

如图2,直线l:y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点,P为AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线于点C.
(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标;
(2)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;
(3)将直线l平移到C点时得到直线l′,求两直线l与l′的距离.
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如图,已知二次函数(m>0)的图象与x轴交于A、B两点.

(1)写出A、B两点的坐标(坐标用m表示);
(2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上,求二次函数的解析式;
(3)设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点,求CD的长.
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二次函数的图象如图所示,对于下列结论:①a<0;②b<0;③c>0;④b+2a=0;⑤a+b+c<0.其中正确的个数是【   】
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线经过A,B,C三点,顶点为F.

(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:
①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由.
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