当前位置:初中试题 > 数学试题 > 二次函数定义 > 如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线经过A,B,C三点,顶点为F.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求...
题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线经过A,B,C三点,顶点为F.

(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:
①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由.
答案
解:(1)∵以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,
∴A(-2,0),B(8,0)。
如图所,连接CE,

在Rt△OCE中,,CE=5,
由勾股定理得:
∴C(0,-4)。
(2)∵点A(-2,0),B(8,0)在抛物线上,
∴设抛物线的解析式为
∵点C(0,-4)在抛物线上,
,解得
∴抛物线的解析式为:,即

∴顶点F的坐标为(3,)。
(3)①∵△ABC中,底边AB上的高OC=4,
∴若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4。
(I)若yM=4,则
整理得:,解得
∴点M的坐标为(,4)或(,4)。
(II)若yM=-4,则
整理得:,解得x=6或x=0(与点C重合,故舍去)。
∴点M的坐标为(6,-4)。
综上所述,满足条件的点M的坐标为:(,4)或(,4)或(6,-4)。
②直线MF与⊙E相切。理由如下:
由题意可知,M(6,-4)。
如图,连接EM,MF,过点M作MG⊥对称轴EF于点G,则MG=3,EG=4。
在Rt△MEG中,由勾股定理得:
∴点M在⊙E上。
由(2)知,F(3,),∴EF=

在Rt△MGF中,由勾股定理得:
在△EFM中,∵
∴△EFM为直角三角形,∠EMF=90°。
∵点M在⊙E上,且∠EMF=90°,
∴直线MF与⊙E相切。
解析
(1)由题意可直接得到点A、B的坐标,连接CE,在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OC的长,则得到点C的坐标。
(2)已知点A、B、C的坐标,利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式,由解析式得到顶点F的坐标。
(3)①△ABC中,底边AB上的高OC=4,若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4.因此解方程yM=4和yM=-4,可求得点M的坐标。
②如解答图,作辅助线,可求得EM=5,因此点M在⊙E上;再利用勾股定理求出MF的长度,则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形,∠EMF=90°,所以直线MF与⊙E相切。
核心考点
试题【如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线经过A,B,C三点,顶点为F.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知二次函数,当自变量x取m对应的函数值大于0,设自变量分别取m-3,m+3 时对应的函数值为y1,y2,则
A.y1>0,y2>0B.y1>0,y2<0 C.y1<0,y2>0D.y1<0,y2<0

题型:不详难度:| 查看答案
已知:抛物线C1:y=x2。如图(1),平移抛物线C1得到抛物线C2,C2经过C1的顶点O和A(2,0),C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。

(1)求抛物线C2的解析式;
(2)探究四边形ODAB的形状并证明你的结论;
(3)如图(2),将抛物线C2向下平移m个单位(m>0)得抛物线C3,C3的顶点为G,与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点,点P()在直线MG上。问:当m为何值时,在抛物线C3上存在点Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A(﹣8,0),B(2,0)两点,直线x=﹣4交x轴于点C,交抛物线于点D.

(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,点E在直线x=﹣4上,若以A,O,E,P为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)若B,D,C三点到同一条直线的距离分别是d1,d2,d3,问是否存在直线l,使?若存在,请直接写出d3的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,x1<x2<1,y1与y2的大小关系是
A.y1≤y2B.y1<y2C.y1≥y2D.y1>y2

题型:不详难度:| 查看答案
如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)

(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A     ,k=     
(2)随着三角板的滑动,当a=时:
①请你验证:抛物线的顶点在函数的图象上;
②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;
(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.