题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²+bx﹣4经过A（﹣8，0），B（2，0）两点，直线x=﹣4交x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点E在直线x=﹣4上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是d₁，d₂，d₃，问是否存在直线l，使？若存在，请直接写出d₃的值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx﹣4经过A（﹣8，0），B（2，0）两点，
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为。
（2）∵点P在抛物线上，点E在直线x=﹣4上，
设点P的坐标为（m，，点E的坐标为（﹣4，n），
如图1，∵点A（﹣8，0），∴AO=8。

①当AO为一边时，EP∥AO，且EP=AO=8，
∴|m+4|=8，解得：m₁=﹣12，m₂=4。
∴P₁（﹣12，14），P₂（4，6）。
②当AO为对角线时，则点P和点E必关于点C成中心对称，故CE=CP。
∴，解得：。
∴P₃（﹣4，﹣6）。
综上所述，当P₁（﹣12，14），P₂（4，6），P₃（﹣4，﹣6）时，A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形。
（3）存在4条符合条件的直线。d₃的值为。

解析

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）平行四边形可能有多种情形，如答图1所述，需要分类讨论：
①以AO为一边的平行四边形，有2个；
②以AO为对角线的平行四边形，有1个，此时点P和点E必关于点C成中心对称。
（3）存在4条符合条件的直线。
如图2所示，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，

由题意得C（﹣4，0），B（2，0），D（﹣4，﹣6），
∴OC=4，OB=2，CD=6。∴△CDB为等腰直角三角形。
∴CH=CD•sin45°=6×=。
∵BD=2CH，∴BD=。
①∵CO：OB=2：1，
∴过点O且平行于BD的直线l₁满足条件。
作BE⊥直线l₁于点E，DF⊥直线l₁于点F，设CH交直线l₁于点G，
∴BE=DF，即：d₁=d₂。
则，即，∴d₃=2d₁，∴。
∴CG=CH，即d₃=。
②如图2，在△CDB外作直线l₂∥DB，延长CH交l₂于点G′，使CH=HG′，
∴d₃=CG′=2CH=。
③如图3，过H，O作直线l₃，作BE⊥l₃于点E，DF⊥l₃于点F，CG⊥l₃于点G，

由①可知，DH=BH，则BE=DF，即：d₁=d₂．
∵CO：OB=2：1，∴。
作HI⊥x轴于点I，
∴HI=CI=CB=3，∴OI=4﹣3=1。
∴。
∵△OCH的面积=×4×3=×d₃，∴d₃=。
④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线l₄，易证：
，d₃=。
综上所述，存在直线l，使．d3的值为：。