题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）阅读以下内容：

(x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 …

①根据以上规律，可得（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=______（n为正整数）；
②根据这一规律，计算：1+2+2²+2³+2⁴+…2²⁰¹¹+2²⁰¹²+2²⁰¹³=______．
（2）阅读下列材料，回答问题：
关于x的方程：x+

1

x

=a+

1

a

的解是x₁=a，x2=

1

a

；x+

2

x

=a+

2

a

的解是x₁=a，x2=

2

a

；x+

3

x

=a+

3

a

的解是x₁=a，x2=

3

a

；
…
①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+

m

x

=a+

m

a

(m≠0)的解；
②请你写出关于x的方程x+

2

x-3

=m+

2

m-3

的解．

答案

（1）①根据题意得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
②原式=（2-1）（1+2+2²+2³+2⁴+…2²⁰¹¹+2²⁰¹²+2²⁰¹³）-1
=2²⁰¹⁴-1；

（2）①根据题意得：方程的解为x₁=a，x₂=

m

a

；
②方程变形得：x-3+

2

x-3

=m-3+

2

m-3

，
∴x-3=m-3，x-3=

2

m-3

，
则x₁=m，x₂=

3m-7

m-3

．
故答案为：（1）①xⁿ⁺¹-1；②2²⁰¹⁴-1