题目

题型：不详难度：来源：

如图（a），小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化。现已测出势能随位置x的变化规律如图（b）中的实线所示。已知曲线最低点的横坐标x₀=20cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上某点的切线。
（1）将小球乙从x₁=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？
（2）假定导轨右侧足够长，将小球乙在导轨上从何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x₀=20cm的位置？并写出必要的推断说明；
（3）若将导轨右端抬高，使其与水平面的夹角α=30°，如图(c)所示。将球乙从x₂=6cm处由静止释放，小球乙运动到何处时速度最大？并求其最大速度；
（4）在图(b)上画出第（3）问中小球乙的动能E_k与位置x的关系图线。

答案

（1）1m/s；（2）见解析；（3）0.55m/s；（4）见解析。

解析

(14分)（1）球乙运动到x₀=20cm位置时势能最少，速度最大，
能量守恒：，                                     （1分）
解出 m/s=1m/s                                 （1分）
（2）在0<x<6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x₀。     （1分）
原因： 在0<x<20cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20cm <x<∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能均为0.28J。若小球乙的静止释放点在6cm <x<∞区间，小球乙将做往复运动，多次经过x₀=20cm的位置。而静止释放点在0<x<6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x₀位置一次。                （2分）
（3）x₃=12cm处的切线斜率J/m="2J/m" ，
表明此处乙球受到甲球2N的排斥力，                                 （1分）
乙球此处受到重力的分力mgsinα=…=2N                    
所以，乙球在x₃=12cm处时，所受合外力等于零，速度最大，             （1分）
从图中读出x₃=12cm处的势能E_p3=0.1J，x₂=6cm处的势能E_p2=0.28J，      （1分）
能量守恒：，             （1分）
解出==……=m/s =0.55m/s       （1分）
（4）作图要求：
三个关键点的位置正确：
x₂=6cm处的动能E_k=0；                                              （1分）
x₃=12cm处的动能E_k=0.06J；                                          （1分）
x₄=20cm处的动能E_k=0                                               （1分）
曲线要求平滑，斜率变化正确。                                      （1分）