题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的l/4圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐．两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好．棒ab质量为2m，电阻为r，棒cd的质量为m，电阻为r．重力加速度为g．开始时棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上．棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为1：3．  求：
（1）棒ab滑到圆弧底部进入磁场之前的速度大小
（2）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；
（3）棒cd在水平导轨上的最大加速度；
（4）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热．

答案

（1）设ab棒进入水平导轨的速度为v₁，ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒：
2mgR=

1

2

×2mv₁²       
解得：v₁=

2gR

． ①
（2）离开导轨时，设ab棒的速度为

v

′1

，cd棒的速度为

v

′2

，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，
根据动量定恒得：
2mv₁=2m

v

′1

+m

v

′2

     ②
依题意

v

′1

＞

v

′2

，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，
由平抛运动水平位移x=vt可知

v

′1

：

v

′2

=x₁：x₂=1：3     ③
联立①②③解得

v

′1

=

2

5

2gR

，

v

′2

=

6

5

2gR

 
（3）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动势为E，
E=BLv      ④
I=

E

2r

         ⑤
cd棒受到的安培力为：F_cd=BIL    ⑥
根据牛顿第二定律，cd棒有最大加速度为
a=

Fcd

m

           ⑦
联立④⑤⑥⑦解得：
a=

B2L2 2gR

2mr

    
（4）根据能量定恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：
Q=

1

2

×2mv₁²-（

1

2

×2mv′₁²+

1

2

×mv′₂²）      ⑧
联立①⑧并代入v′₁和v′₂解得：
Q=

6

25

mgR
答：（1）棒ab滑到圆弧底部进入磁场之前的速度大小是

2gR

，
（2）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小分别是

2gR

，

6

5

2gR

，
（3）棒cd在水平导轨上的最大加速度是

B2L2 2gR

2mr

；
（4）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热是

6

25

mgR．