题目

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【题文】已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并求其值域；
（3）解关于的不等式．

答案

【答案】（1）；（2）在上为减函数，函数的值域为；（3）.

解析

【解析】
试题分析：（1）因为为奇函数，所以代入中求得：；（2）
（2）根据（1）得到的解析式，再利用求导（或定义法）证明其单调性，进一步求得其值域；（3）因为是奇函数，等价于进一步根据单调性求得不等式的解.
试题解析：（1）因为是奇函数， ，解得:．；经检验，当时，函数是奇函数．（若不检验，则扣１分）
（2）由（1）知
由上式易知在上为减函数（此处可用定义或导数法证明函数在上是减函数）．
由于函数的定义域为，所以，因此，所以，函数的值域为
（3）因是奇函数，从而不等式等价于

因是减函数，由上式推得      ，
即解不等式可得.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性及值域；3.解不等式.