题目

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【题文】已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

答案

【答案】（1）带解析    （2）0<a≤1

解析

【解析】解：(1)证明：任设x₁<x₂<－2，
则f(x₁)－f(x₂)＝－
＝.
∵(x₁＋2)(x₂＋2)>0，x₁－x₂<0，
∴f(x₁)<f(x₂)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任设1<x₁<x₂，则
f(x₁)－f(x₂)＝－
＝.
∵a>0，x₂－x₁>0，
∴要使f(x₁)－f(x₂)>0，
只需(x₁－a)(x₂－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知0<a≤1.