题目
题型:难度:来源:
【题文】(本小题满分12分)定义在
上的函数
满足下面三个条件:
①对任意正数
,都有
;
②当
时,
;
③
.
(1)求
和
的值;
(2)试用单调性定义证明:函数
在
上是减函数;
(3)求满足
的
的取值集合.
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①对任意正数
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②当
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③
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(1)求
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(2)试用单调性定义证明:函数
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(3)求满足
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答案
【答案】(1)
,
;(2)略;(3)
.
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解析
【解析】
试题分析:(1)因为对任意正数
,都有
,所以令
得
,令
得
,令
,
得
,对正数
恰当赋值是解此类题目的关键;(2)任取
,
,且
,则
,
,
,所以函数
在
上是减函数,变形
是证明此题的关键;(3)利用(1)中
,(2)中函数
在
上是减函数,将
等价变形为
,解得
,这里逆用单调性定义,将函数值之间的关系转化为符合条件的自变量间的关系是解此类问题最基本的方法.
试题解析:(1)∵对任意正数
,都有
,∴令
得
,
∴
, 2分
∵
,∴
,
. 4分(2)任取
,
,且
, 5分
则
,∵当
时,
,∴
; 6分
∴
7分
∴函数
在
上是减函数. 8分
(3)∵
,∴
,解得
, 9分
∴
,即
,亦即
,10分
∴
,解得
, 11分
∴
的解集为
. 12分
考点:①用赋值法求抽象函数的函数值;②抽象函数的单调性的证明;③利用抽象函数的单调性解不等式.
试题分析:(1)因为对任意正数
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203004-42448.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325202957-95189.png)
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试题解析:(1)∵对任意正数
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∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203000-22002.png)
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325202959-29147.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203007-90047.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203003-68450.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203003-32507.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203004-33571.png)
则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203004-44088.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325202958-69634.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325202958-69446.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203004-42448.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203007-20397.png)
∴函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325202957-95189.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325202957-48031.png)
(3)∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203000-82276.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203008-18813.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203008-71484.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203008-69722.png)
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∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203005-21427.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203006-97021.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325203009-90631.png)
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考点:①用赋值法求抽象函数的函数值;②抽象函数的单调性的证明;③利用抽象函数的单调性解不等式.
核心考点
试题【【题文】(本小题满分12分)定义在上的函数满足下面三个条件:①对任意正数,都有;②当时,;③.(1)求和的值;(2)试用单调性定义证明:函数在上是减函数;(3)】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
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