题目

题型：四川省月考题难度：来源：

设函数R），函数f（x）的导数记为f"（x）．
（1）若a=f"（2），b=f"（1），c=f"（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记，求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）；
（3）设关于x的方程f"（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．试问：是否存在正整数n₀，使得？说明理由．

答案

解：（1）f"（x）=x²+ax+b，由已知可得a=﹣1，b=c=﹣3
（2），
当n=1时，；
当n=2时，；
当n≧3时，．
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜
F（1）+F（2）+…+
=（1++﹣﹣﹣ ）＜ （1++ ）=，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）．
（3）根据题设，可令f"（x）=（x﹣α）（x﹣β）．
∴f"（1）·f"（2）=（1﹣α）（1﹣β）（2﹣α）（2﹣β）=，
∴，或，
所以存在n₀=1或2，使．