题目
题型:不详难度:来源:
(1)求C、M两点的坐标;
(2)连结CM,试判断直线CM是否与⊙P相切?说明你的理由;
(3)在x轴上是否存在一点Q,使周长最小?若存在,求出Q坐标及最小周长,若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)因为ABCD为正方形,且边长为10,所以易得C点坐标;连接PM,根据P点坐标和半径求OM可得M点坐标;
(2)根据CM、PM、PC的长判定△PCM为直角三角形,得∠PMC=90°,从而判断相切;
(3)因CM长度固定,要使△QMC周长最小,只需PM+PC最小.作M关于x轴的对称点M′,连接CM′,交x轴于Q点,根据对称性及两点之间线段最短说明存在Q点.
(1)∵A(﹣2,0),B(8,0),
∴AB=10,
∵四边形ABCD为正方形,
∴BC=AB=10,
∴C(8,10),
连接MP,PC,
在Rt△OPM中,OP=3,MP=5,
∴OM=4,即M(0,4);
(2)在Rt△CBP中,CB=10,BP=5,
∴CP2=125.
在Rt△CEM中,EM=6,CE=8,
∴CM2=100,
∵100+25=125,
∴在△CMP中,CM2+MP2=CP2,
∴∠CMP=90°.
即:PM⊥CM.
∴CM与⊙P相切.
(3)△QMC中,CM恒等于10,要使△QMC周长最小,即要使MQ+QC最小.故作M关于x轴对称点M’,连CM’交x轴于点Q,连MQ,此时,△QMC周长最小.
∵C(8,10),M"(0,﹣4),
设直线CM":y=kx+b(k≠0)
∴,解得
∴.
∴Q(,0)
∵x轴垂直平分MM’,
∴QM=QM",
∴MQ+QC=M"Q+QC=M"C.
在△CEM"中,CE=8,EM"=14
∴
∴△QMC周长最小值为.
∴存在符合题意的点Q,且
此时△QMC周长最小值为.
点评:解答本题的关键是熟记要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时熟练掌握两点之间线段最短在求三角形周长最短中的应用。
核心考点
试题【如图,在直角坐标系中,,,以AB为直径作半⊙P交y轴于M,以AB为一边作正方形ABCD.(1)求C、M两点的坐标;(2)连结CM,试判断直线CM是否与⊙P相切?】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.4 | B.3 | C.2 | D.1 |
A.30º | B.150º | C.30º或150º | D.60º或120º |
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.
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