题目

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)=log_a(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图像上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图像上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式；
(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.

答案

(1) g(x)=log_a (2) a的取值范围是0＜a≤

解析

(1)设点Q的坐标为(x′,y′),
则x′=x－2a,y′=－y. 即x=x′+2a,y=－y′.
∵点P(x,y)在函数y=log_a(x－3a)的图像上，
∴－y′=log_a(x′+2a－3a),即y′=log_a,∴g(x)=log_a. 
(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,
又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,                                            
∵|f(x)－g(x)|=|log_a(x－3a)－log_a|
=|log_a(x²－4ax+3a²)|·|f(x)－g(x)|≤1,
∴－1≤log_a(x²－4ax+3a²)≤1,
∵0＜a＜1,∴a+2>2a f(x)=x²－4ax+3a²在［a+2,a+3］上为减函数，
∴μ(x)=log_a(x²－4ax+3a²)在［a+2,a+3］上为减函数，
从而［μ(x)］_max=μ(a+2)=log_a(4－4a),［μ(x)］_min=μ(a+3)=log_a(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组的解. 
由log_a(9－6a)≥－1解得0＜a≤,
由log_a(4－4a)≤1解得0＜a≤,
∴所求a的取值范围是0＜a≤.