题目

题型：不详难度：来源：

选修4-2：矩阵与变换
设矩阵M=

1 a b 1

．
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M的作用下变换成曲线C"：x²-2y²=1，求a+b的值．

答案

（I）若a=2，b=3，则M=

1 2 3 1

，∴|M|=

.

1 2 3 1

.

=-5
故所求的逆矩阵M^-1=

- 1 5 2 5 3 5 - 1 5

．…（4分）
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P"（x"，y"），
则

1 a b 1

x y

=

x′ y′

，
即

x+ay=x′ bx+y=y′

，…（5分）
又点P"（x"，y"）在曲线C"上，所以x^"2-2y^"2=1，则（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为x²+4xy+2y²=1，
比较系数可得

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，解得b=0，a=2，
∴a+b=2．…（7分）