题目

题型：0103 模拟题难度：来源：

如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，
面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点；
（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。

答案

（Ⅰ）证明：（方法一）取A′B中点D，连接ED，DC，
因为E，D分别为AB，A′B中点，
所以ED=AA′，ED∥AA′，
所以ED=CF，ED∥CF，所以四边形EFCD为平行四边形，
所以EF∥CD，
又因为EF平面A′BC，CD平面A′BC′，
所以EF∥平面A′BC′。证明：（方法二）取BC中点O，连接AO，OC′，
由题可得AO⊥BC，
又因为面ABC⊥面，
所以AO⊥面，
 ，
，所以，
可以建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设BC=2，可得，，，
，，，
所以，
所以
，

则，
不妨取，则，
所以，

（Ⅱ）（方法一）解：过F点作AA′的垂线FM交AA′于M，
连接BM，BF，
因为BF⊥CC′，CC′∥AA′，
所以BF⊥AA′，所以AA′⊥面MBF，

因为面ABC⊥面BCC′B′，所以A点在面BCC′B′上的射影落在BC上，
所以，
所以，
不妨设BC=2，则，
同理可得，
所以，
（方法二）由（Ⅰ）方法二可得
，
设面的一个法向量为，
则，
不妨取，
则；
又，

则，
不妨取，
则，
所以，

。