题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形。AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，
（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°。

答案

解：（1）取的中点，连结，
因为为中点，
∴，且，
在梯形中，，
∴，
四边形为平行四边形，
∴平面，
平面，
∴平面。
（2）平面平面，
，
∴平面，
∴PD⊥AD，
在直角梯形ABCD中，

∴即，
又由平面，
可得，
又，
∴平面。

（3）如图，以D为原点建立空间直角坐标系
D-xyz，
则，
平面的法向量为
，
∴，
设平面的法向量为，
，
由，
∴，
∴，
注意，
∴。