题目

题型：不详难度：来源：

如图，平面四边形的4个顶点都在球的表面上，为球的直径，为球面上一点，且平面 ，，点为的中点.
(1) 证明：平面平面；
(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

答案

(1)详见解析；（2）

解析

试题分析：本小题通过立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识，考查考生的空间想象能力、推理论证能力，对学生的数形结合思想的考查也有涉及，本题是一道立体几何部分的综合题，属于中档难度试题. （1）借助几何体的性质，得到，借助线面平行的判定定理得到线面平行，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面；（2）利用空间向量的思路，建立坐标系，明确各点坐标，求解两个半平面的法向量，进而利用向量的夹角公式求解二面角的平面角.
试题解析：(1) 证明：且，
则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.
              (6分)
(2) 以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴，建立如图所示坐标系.

则，，，
，，
由，，
可知
由，，
可知
则，
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.                    (12分)