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题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形,O1、O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O。

(Ⅰ)求证:平面O1DC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若∠A1AB=60°,求平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值。
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)平面与平面的夹角的余弦值为
解析

试题分析:(Ⅰ)求证平面平面,证明面面垂直,先证线面垂直,即证一个平面过另一个平面的垂线,注意到在底面上的射影是,即平面,由图像可知只需证明即可,因此可连,则的交点,易知四边形为平行四边形,从而得,这样就得平面,由面面垂直的判定定理可得结论;(Ⅱ)平面与平面的夹角的余弦值,可用传统方法,找二面角的平面角,过点,垂足为,连接,由三垂线定理得,∴为二面角的平面角,在中求出此角即可;也可用空间向量法,如图分别以轴建立空间直角坐标系,分别找出两个半平面的法向量,利用法向量来求平面与平面的夹角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)连结AC,BD, A1C1,则O为AC,BD的交点O1为A1C1,B1D1的交点。
由平行六面体的性质知:A1O1∥OC且A1O1=OC,四边形A1OCO1为平行四边形,      (2分)
A1O∥O1C. 又∵A1O⊥平面ABCD,O1C⊥平面ABCD,             (4分)
又∵O1C平面O1DC, 平面O1DC⊥平面ABCD。       (6分)

(Ⅱ)由题意可知RtA1OB≌RtA1OA,则A1A=A1B,
又∠A1AB=600,故A1AB是等边三角形。                  (7分)
不妨设AB="a," 则在RtA1OA中,OA=a, AA1="a," OA1=a,
如图分别以OB,OC,OA1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则可得坐标为A(0,-a,0), B(a,0,0), A1(0,0,,a)         (8分)
=(a,a,0),  =(-a,0,a)
设平面ABA1的法向量为=(x,y,z)
则由·=0得x+y=0,由·=0得x-z=0
令x=1得=(1,-1,1)                                      (10分)
又知BD⊥平面ACC1A1,故可得平面CAA1的一个法向量为=(1,0,0)
cosθ=||=
从而平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值为。         (12分)
核心考点
试题【如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形,O1、O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O。(Ⅰ)求证:平面O1DC⊥平面A】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图所示,已知四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点。

(Ⅰ)求证:平面FGH⊥平面AEB;
(Ⅱ)在线段PC上是否存在一点M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.
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是两个不重合的平面,m、m是两条不重合的直线,则以下结论错误的是
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则

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已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题:
①若,,则;②若,,且,则;③若,,则; ④若,,且,则.其中正确命题的序号是(    )
A.①④ B.②③ C.②④D.①③

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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2.点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点.

(1)当E点是AB中点时,求证:直线ME‖平面ADD1 A1
(2)若二面角AD1EC的余弦值为.求线段AE的长.
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在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且

(Ⅰ)求证:AB⊥PD;
(Ⅱ)求证:GN//平面PCD.
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