题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:AC1⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值。
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)求证:AC1⊥平面A1BC,只需证垂直平面内两条线即可,由于平面平面,,可得,由题意可得,四边形是菱形,由菱形对角线性质可知,,从而可得平面,也可利用向量法,即如图以为轴建立空间直角坐标系,由 知,即可得平面;(Ⅱ)求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值,可用传统方法,找二面角的平面角,设,作于,连接,则为二面角的平面角,从而求得两平面夹角的余弦值为,还可以利用向量来求,即找出两个平面的法向量,利用法向量的夹角平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值.
试题解析:解法一:
(Ⅰ)由于平面平面,,所以面,所以。(2分)
而是菱形,因此,所以平面。(4分)
(Ⅱ)设,作于,连接,
由(1)知平面,即平面,所以
又于,因此,
所以为二面角的平面角,(8分)
在中,,,故直角边,
又因为中斜边 因此中斜边,
所以,所以所求两平面夹角的余弦值为。(12分)
解法二:
如图,取的中点,则,
因为,所以,又平面,(2分)
以为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,
(Ⅰ),,,
由 知, (5分)
又,从而平面;(6分)
(Ⅱ)由(1)知平面的一个法向量为,
再设平面的法向量为,,,
所以,设,则,
故
因此所求两平面夹角的余弦值为。(12分)
核心考点
试题【已知三棱柱中,平面⊥平面ABC,BC⊥AC,D为AC的中点,AC=BC=AA1=A1C=2。(Ⅰ)求证:AC1⊥平面A1BC;(Ⅱ)求平面AA1B与平面A1BC】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
求证:(Ⅰ)若为线段中点,则∥平面;
(Ⅱ)无论在何处,都有.
(1)求证:平面BDE;
(2)求锐二面角的大小.
①若,则 ②若,则
③若,则 ④若,则
其中正确的结论的序号是:( )
A.①④ | B.②④ | C.①③ | D.②③ |
(1)求证:平面//平面;
(2)若平面,且,,,求证:平面;
(3)在(2)的条件下,求二面角的余弦值.
(1)求证:平面//平面;
(2)若平面,且,,,求证:平面;
(3)在(2)的条件下,设点为上的动点,求当取得最小值时的长.
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