题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:DE∥平面FGH;
(2)若点P在直线GF上,=λ,且二面角D﹣BP﹣A的大小为,求λ的值.
答案
解析
试题分析:(1)取AD的中点M,连接MH,MG,由G、H、F分别是AE、BC、BE的中点,得MH∥GF,G、F、H、M四点共面,又MG∥DE,所以DE∥平面MGFH;(2)在平面ABE内过A作AB的垂线,记为AP,则AP⊥平面ABCD.以A为原点,AP、AB、AD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立建立空间直角坐标系A﹣xyz,如图所示.可得坐标,利用空间向量的坐标运算求出平面PBD的一个法向量=(5﹣2λ,,2),再由图可知平面ABP的一个法向量为,由cos<>==得λ=1或4.
解:(1)证明:取AD的中点M,连接MH,MG.
∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点,
∴MH∥AB,GF∥AB,
∴MH∥GF,即G、F、H、M四点共面,平面FGH即平面MGFH,
又∵△ADE中,MG是中位线,∴MG∥DE
∵DE⊄平面MGFH,MG⊂平面MGFH,
∴DE∥平面MGFH,即直线DE与平面FGH平行.
(2)在平面ABE内,过A作AB的垂线,记为AP,则AP⊥平面ABCD.
以A为原点,AP、AB、AD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立建立空间直角坐标系A﹣xyz,如图所示.
可得A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,﹣2,0),G(,﹣1,0),F(,1,0)
∴=(0,2,0),=(0,﹣4,2),=(,﹣5,0).
由=λ=(0,2λ,0),可得=+=(,2λ﹣5,0).
设平面PBD的法向量为=(x,y,z),
则,取y=,得z=2,x=5﹣2λ,
∴=(5﹣2λ,,2),
又∵平面ABP的一个法向量为=(0,0,1),
∴cos<>===cos=,解之得λ=1或4
即λ的值等于1或4.
核心考点
试题【如图,在四棱锥E﹣ABCD中,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点(1】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明:⊥平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
(1)求证:AB//平面DEG;
(2)求证:BDEG;
(3)求二面角C—DF—E的正弦值.
(1)求证:平面;
(2)若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值.
,。M、N分别是AC和BB1的中点。
(1)求二面角的大小。
(2)证明:在AB上存在一个点Q,使得平面⊥平面,
并求出的长度。
(1)求证:CD⊥面ABB1A1;
(2)在侧棱BB1上确定一点E,使得二面角E-A1C1-A的大小为.
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