题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
（1）求证：平面； 
（2）若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值.

答案

（1）参考解析;（2）

解析

试题分析：（1）依题意可得.即翻折后的.所以由.可得.又因为,所以可得：平面.
（2）依题意建立空间直角坐标系,由平面APQ写出其法向量.假设点E(m,n,0),根据平面APE写出其法向量.再由二面角E-AP-Q的余弦值为,可得到关于m,n的方程m+2n-6=0.再由点B到直线的距离公式即可得到结论.
（1）在正方形中，因为，
所以三棱柱的底面三角形的边．
因为，，所以，所以．
因为四边形为正方形，，所以，而，
所以平面．----------- 4分
（2）因为,,两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，

所以，，
设平面的一个法向量为．
则由，即令，
则．所以．
设点E(m,n,0),
.由得:m+2n-6=0
所以|BE|的最小值为点B到线段: m+2n-6="0" 的距离------- 13分