题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，

c

=(-sin

x

2

，cos

x

2

)，且x∈[-

π

2

，

π

2

]．
（1）求|

a

+

b

|；
（2）求函数f（x）=2

a

•

c

+|

a

+

b

|的单调增区间．

答案

（1）∵

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)
∴|

a

+

b

|2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=2+2cos2x=4cos²x
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]
∴cosx＞0
∴|

a

+

b

|=2cosx；
（2）

a

•

c

=sin（

3

2

x-

x

2

）=sinx
∴f（x）=2

a

•

c

+|

a

+

b

|=2sinx+2cosx=2

2

sin（x+

π

4

）
其中x∈[-

π

2

，

π

2

]，令μ=x+

π

4

，则μ∈[-

π

4

，

3π

4

]，y=sinμ在[-

π

4

，

π

2

]上为增函数
由μ∈[-

π

4

，

π

2

]可得x∈[-

π

2

，

π

4

]，故sin（x+

π

4

）的增区间为[-

π

2

，

π

4

]
即函数f（x）=2

a

•

c

+|

a

+

b

|单调增区间为[-

π

2

，

π

4

]