题目

题型：不详难度：来源：

设x，y∈R，

i

，

j

、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

且

a

²+

b

²=16．
（1）求点M（x，y ）的轨迹C的方程；
（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设

OP

=

OA

+

OB

，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．

答案

（1）∵

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

且

a

²+

b

²=16，

i

，

j

为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，
∴x²+（y+2）²+x²+（y-2）²=16
∴点M（x，y ）的轨迹C的方程是x²+y²=4；
（2）假设存在直线l，设方程为y=kx+3，代入x²+y²=4可得（1+k²）x²+6kx+5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

6k

1+k2

，x₁•x₂=

5

1+k2

由题意，

OA

⊥

OB

，则x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴x₁•x₂+k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=0
∴

5

1+k2

+k2•

5

1+k2

+3k•（-

6k

1+k2

）+9=0
∴k=±

14

2

∴存在l且l的方程为y=±

14

2

x+3．