题目

题型：不详难度：来源：

ABC的面积S满足

3

≤S≤3，且

AB

•

BC

=6，AB与BC的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围．
（2）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值．

答案

（1）由题意知：

AB

•

BC

=|

AB

||

BC

|cosθ=6，①
S=

1

2

|

AB

||

BC

|sin（π-θ）
=

1

2

|

AB

||

BC

|sinθ，②
②÷①得

S

6

=

1

2

tanθ，即3tanθ=S．
由

3

≤S≤3，得

3

≤3tanθ≤3，即

3

3

≤tanθ≤1．
又θ为

AB

与

BC

的夹角，
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[

π

6

，

π

4

]．
（2）f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ
=1+sin2θ+2cos²θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+

2

sin（2θ+

π

4

）．
∵θ∈[

π

6

，

π

4

]，∴2θ+

π

4

∈[

7π

12

，

3π

4

]．
∴当2θ+

π

4

=

3π

4

，θ=

π

4

时，f（θ）取最小值3．