题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：-

3

＜a＜

3

．
（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要条件．

答案

（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），
不妨设x₁＞x₂，
则

y1-y2

x1-x2

＜1，即

- x 13 +a x 12 + x 23 -a x 22

x1-x2

＜1，
∴

-(x1-x2)( x 21 +x1x2+ x 22 )+a(x1-x2)(x1+x2)

x1-x2

＜1
整理得：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0
∵x₁∈R
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0即3x₂²-2ax₂-a²+4＞0
∵x₂∈R
∴△=4a²-12（-a²+4）＜0即a²-3＜0
∴-

3

＜a＜

3

（2）k=f"（x）=-3x²+2ax，则当x∈[0，1]时，|k|≤1⇔-1≤-3x²+2ax≤1
⇔

0≤ a 3 ≤1 |f′(1)|=|-3+2a|≤1 |f( a 3 )|= a2 3 ≤1

或

a 3 ＞1 |f′(1)|=-3+2a≤1

或

a 3 ＜0 |f′(1)|=|-3+2a|≤1

解得：1≤a≤

3

，故|k|≤1成立的充要条件是1≤a≤

3

．