题目

题型：不详难度：来源：

定义空间两个向量的一种运算

a

⊕

b

=|

a

|-|

b

|sin＜

a

，

b

＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中，
①

a

⊕

b

=

b

⊕

a

，
②λ（

a

⊕

b

）=（λ

a

）⊕

b

，
③（

a

⊕

b

）⊕

c

=（

a

⊕

c

）（

b

⊕

c

），
④若

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），则

a

⊕

b

=|x₁y₂-x₂y₁|；
恒成立的个数有（　　）

A．0个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

①、∵

a

⊕

b

=|

a

|-|

b

|sin＜

a

，

b

＞，
∴

b

⊕

a

=|

b

|-|

a

|sin＜

b

，

a

＞，故

a

⊕

b

=

b

⊕

a

不会恒成立；
②、∵λ(

a

⊕

b

)=λ(|

a

|-|

b

|sin＜

a

，

b

＞)，且(λ

a

)⊕

b

=|λ||

a

|-|

b

|sin＜λ

a

，

b

＞，
∴λ(

a

⊕

b

)=(λ

a

)⊕

b

不会恒成立；
③、由定义知

a

⊕

b

、

a

⊕

c

、

b

⊕

c

结果是实数，而

c

是向量，故（

a

⊕

b

）⊕

c

≠（

a

⊕

c

）（

b

⊕

c

）；
④、∵cos＜

a

，

b

＞=

x1x2+y1y2

| a || b |

，∴sin＜

a

，

b

＞=

1-( x1x2+y1y2 | a || b | )2

，
∴

a

⊕

b

=|

a

|-|

b

|×

1-( x1x2+y1y2 | a || b | )2

=|

a

|-

| b |2-( x1x2+y1y2 | a | )2

=

x12+y12

-

x22+y22-( x1x2+y1y2 x12+y12 )2

≠|x₁y₂-x₂y₁|．不成立
综上，恒成立的命题个数为零
故选A．