题目

题型：不详难度：来源：

对于函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1（x∈R）给出下列命题：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在区间[

π

2

，

5π

8

]上是减函数；
③直线x=

π

8

是f（x）的图象的一条对称轴；
④f（x）的图象可以由函数y=

2

sin2x的图象向左平移

π

4

而得到．
其中正确命题的序号是______（把你认为正确的都填上）．

答案

∵f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1=

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π，①不对；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z．当k=0时，

π

8

≤x≤

5π

8

，
显然，[

π

2

，

5π

8

]⊂[

π

8

，

5π

8

]，
∴f（x）在区间[

π

2

，

5π

8

]上是减函数正确，即②正确；
对于③，f（0）=

2

×

2

2

=1，f（

π

4

）=

2

sin

3π

4

=

2

×

2

2

=1，即f（0）=f（

π

4

），
故直线x=

π

8

是f（x）的图象的一条对称轴，正确，即③正确；
④，函数y=

2

sin2x的图象向左平移

π

4

而得到：y=

2

sin2（x+

π

4

）=

2

cos2x≠

2

sin（2x+

π

4

），即④错误．
综上所述，正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．