命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：∀x∈[1，2]，x2-a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：∀x∈[1，2]，x²-a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．

答案

设g（x）=x²+2ax+4，由于关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，
所以函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
故△=4a²-16＜0，
∴-2＜a＜2．…（2分）
若q为真命题，a≤x²恒成立，即a≤1．…（4分）
由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假．…（5分）
①若p真q假，则

-2＜a＜2

a＞1

∴1＜a＜2；…（7分）
②若p假q真，则

a≤-2

a＜1

∴a≤-2；…（9分）
综上可知，所求实数a的取值范围是{a|1＜a＜2或a≤-2}…（10分）

核心考点

试题【命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：∀x∈[1，2]，x2-a≥0，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．】；主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]

举一反三

在下列命题中：
（1）若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；
（2）(1+

3	x

)6(1+

4	x

)10展开式中的常数项为4246；
（3）如果不等式

4x-x2

＞（a-1）x的解集为A，且A⊆{x|0＜x＜2}，那么实数a的取值范围是a∈（2，+∞）．
（4）函数f(x)=

x3+

ax2+

a2-8

x在x=1处的切线恰好在此处穿过函数图象的充要条件是a=-2
其中真命题的序号是______．

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已知P：对任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立； Q：函数f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在极大值和极小值．求使“P且¬Q”为真命题的m的取值范围．

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给出下列四个命题：
①∃α＞β，使得tanα＜tanβ；
②若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈(

，

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
③在△ABC中，“A＞

”是“sinA＞

”的充要条件；
④若函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=

x+2．则f（1）+f′（1）=3
其中所有正确命题的序号是 ______．

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设α表示一个平面，a，b，c表示三条不同的直线，给出下列五个命题：
（1）a∥α，b∥α，则a∥b （2）a∥b，b⊂α，则a∥α （3）a⊥c，b⊥α，则a∥b
（4）a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，则a⊥α （5）a∥b，b⊥α，c⊥α，则a∥c
其中正确命题的序号是______．

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下列判断错误的是（　　）

A．命题“若q则p”与命题“若p则q”互为逆命题

B．”am²＜bm²”是”a＜b”的充要条件

C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假

D．命题：”∅⊆{1，2}或4∉{1，2}为真”（其中∅为空集）

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