题目

题型：不详难度：来源：

以下命题正确的个数为（　　）
①若a²+b²=8，则ab的最大值为4；
②若a＞0，b＞0，且a+b=4，则

1

a

+

1

b

的最小值为1；
③若x∈R，则x+

4

x-2

的最小值为6；
④若x＞0，y＞0，且4x+y=1，则xy的最大值为

1

4

．

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

由①知，a²+b²=8，
∴ab≤

a2+b2

2

=4成立（当且仅当a=b=2或a=b=-2时，取等号），故①正确．
由②知，a+b=4，∴

a

4

+

b

4

=1．
∴

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(

a

4

+

b

4

)=

1

4

+

b

4a

+

a

4b

+

1

4

≥

1

2

+2

b 4a ． a 4b

=

1

2

+

1

2

=1（当且仅当a=b=2时取等号），故③正确．
由③x∈R，不能保证x-2为正数，此函数没有最小值，判断③不正确；
④：xy=

1

4

4x•y≤

1

4

(

4x+y

2

)2=

1

16

，当且仅当4x=y=

1

2

时取等号．
则xy的最大值为：

1

16

．故④不正确．
故正确的有①②．
故选B．