题目

题型：安徽模拟难度：来源：

关于函数f（x）=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

，有下面五个结论：
①f（x）是奇函数；
②当x＞2012时，f（x）＞

1

2

恒成立；
③f（x）的最大值是

3

2

；
④f（x）的最小值是-

1

2

；
⑤f（x）在[0，

π

2

]上单调递增．
其中正确结论的序号为______ （写出所有正确结论的序号）．

答案

∵f（x）=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

，定义域为x∈R，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．
②对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2012，sin²1000π=0，且(

2

3

)1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-(

2

3

)1000π＜

1

2

，因此结论②错．
③又f（x）=

1-cos2x

2

-(

2

3

)|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，
∵-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

2

3

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|＜

3

2

，即结论③错．
④而cos2x，（

2

3

）^|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|在x=0时可取得最小值-

1

2

，即结论④是正确的．
⑤由于f（x）=

1-cos2x

2

-(

2

3

)|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，中，-cos2x，-(

2

3

)x在[0，

π

2

]分别递增，故函数f（x）在[0，

π

2

]单调递增，故⑤正确
故答案为：④⑤