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题目
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下列命题中所有正确的是:______
(1)每个定义域关于原点对称的函数都可以分解为一个奇函数与一个偶函数的和.
(2)若f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和,则这种分解方法只有一种.
(3)非零奇函数与非零偶函数的和必为非奇非偶函数.
(4)f(x)=


9-x2
|x+5|+|3-x|
为非奇非偶函数.
答案
(1)因为f(x)=
f(x)+f(-x)
2
+
f(x)-f(-x)
2
,设g(x)=
f(x)+f(-x)
2
,h(x)=
f(x)-f(-x)
2
,则g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,所以(1)正确.
(2)若f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和,不妨设f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,则f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),
则联立两式得,g(x)=
f(x)+f(-x)
2
,h(x)=
f(x)-f(-x)
2
,此种分解方法只有一种,所以(2)正确.
(3)由(1)(2)的证明过程知,非零奇函数与非零偶函数的和不一定是非奇非偶函数.所以错误.
(4)因为函数的定义域为[-3,3],所以此时f(x)=


9-x2
x+5+3-x
=


9-x2
8
为偶函数,所以(4)错误.
故答案为:(1),(2).
核心考点
试题【下列命题中所有正确的是:______(1)每个定义域关于原点对称的函数都可以分解为一个奇函数与一个偶函数的和.(2)若f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和】;主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
下列等式中正确的个数为(  )(a,b,c>0,a,b,c≠1,x,y>0,k≠0)
(1)logab+logba=0
(2)loga(x+y)=logax•logay
(3)logab=
logac
logbc

(4)logakb=
1
k
logab.
A.0个B.1个C.2个D.3个
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下列命题中正确的是(  )
A.函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称
B.若f(x)为奇函数,f(1-x)为偶函数,则f(x+2)为奇函数
C.不是常值函数的周期函数都有最小正周期
D.f(x)的周期为T,则f(
x
3
)的周期为
T
3
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下面有四个说法:
(1)a<1且b<1⇒a+b<2且ab<1;
(2)a<1且b<1⇒ab-a-b+1<0;
(3)a>|b|⇒a2>b2
(4)x>1⇒
1
x
≤1
其中正确的是______.
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设命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+
1
16
a)的定义域为R;命题q:3x-9x<a对一切的实数均成立,如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
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下列判断错误的是(  )
A.a,b,m为实数,则“am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件
B.命题“对任意x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2-1>0”
C.若p且q为假命题,则p,q均为假命题
D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
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