题目

题型：不详难度：来源：

a

=(sin

x

2

，

3

cos

x

2

)，

b

=(cos

x

2

，cos

x

2

)，设f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f(x)=

a

•

b

．的周期及单调增区间．
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(A)=

3

，b=2，sinA=2sinC，求边c的值．

答案

（Ⅰ）因为

a

=(sin

x

2

，

3

cos

x

2

)，

b

=(cos

x

2

，cos

x

2

)
所以f(x)=

a

•

b

=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos2

x

2

=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin(x+

π

3

)+

3

2

．
所以周期T=2π
由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

所以函数的单调递增区间是{x|2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z}．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+

π

3

)+

3

2

=

3

，
所以sin(A+

π

3

)=

3

2

因为A∈（0，π），所以A+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)
得A+

π

3

=

2π

3

，所以 A=

π

3

．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，
由a²=b²+c²-2bccosA，得：4c2=22+c2-2•2ccos

π

3

，所以3c²+2c-4=0，
∵c＞0，
∴c=

13 -1

3

．