正方体ABCD-A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：
①AC⊥BE；
②EF∥平面A1BD；
③直线AE与BF所成角为定值；
④直线AE与平面BD1所成角为定值；
⑤三棱锥A-BEF的体积为定值．
其中正确命题序号为______． |
①正确．如图1所示，连接BD， 由正方体ABCD-A1B1C1D1中可得AC⊥BD，BB1⊥AC，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BE；
②正确．如图图2所示，∵B1D1∥BD，B1D1⊄平面A1BD，而BD⊂平面A1BD，∴EF∥平面A1BD；
③不正确．如图3所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，|EF|=m， F（a，b，1），
则E(a+m，b+m，1)．又A（1，0，0），B（1，1，0）．
∴=(a+m-1，b+m，1)，=（a-1，b-1，1），
∴cos＜，＞==| (a+m-1)(a-1)+(b+m)(b-1)+1 | |
，与a，b的取值有关系．
④如图3所示，取对角面BD1的法向量为=(-1，1，0)．
设AE与平面BD1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==与a，b的取值有关系；
⑤正确．由①可知：AC⊥平面BDD1B1，∴点A到平面BEF的距离=|AC|，而△BEF的面积=|EF||BB1|，∴VA-BEF=×|AC|•|EF||BB1|，又|AC|，|EF|，|BB1|都为定值，因此三棱锥A-BEF的体积为定值．
综上可知：正确答案为①②⑤．
故答案为①②⑤． |
核心考点
试题【正方体ABCD-A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：①AC⊥BE；②EF∥平面A1BD；③直线AE与BF所成角为定值】；主要考察你对
四种命题的概念等知识点的理解。
[详细]举一反三
下列说法中正确的是（ ）| A．“a=1”是直线“l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充要条件 | | B．命题“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0” | | C．命题“若m＞0，则方程x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x-m=0无实数根，则m≤0” | | D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 |
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下列四个命题中，真命题是（ ）| A．∀x∈R，有(x-)2＞0 | B．∀x∈Q，有x2＞0 | | C．∃x∈Z，使3x=128 | D．∃x∈R，使3x2-4=6x |
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如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．
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在下列命题中：
①若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；
③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面；
④已知是空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得=x+y+z；
其中正确的命题的个数是（ ） |
| 若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为______． |
