直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，则弦AB中点的轨迹方程为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，则弦AB中点的轨迹方程为______．

答案

由题知抛物线焦点为（1，0）
当直线的斜率存在时，设为k，则焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由题意知斜率不等于0，
方程是一个一元二次方程，由韦达定理：
x₁+x₂=

2k2+4

所以中点横坐标：x=

x1+x2

k2+2

代入直线方程
中点纵坐标：
y=k（x-1）=

．即中点为（

k2+2

，

）
消参数k，得其方程为
y²=2x-2
当直线斜率不存在时，直线的中点是（1，0），符合题意，
故答案为：y²=2x-2

核心考点

试题【直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，则弦AB中点的轨迹方程为______．】；主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，-1），B（-1，3），若点C满足

=α

+β

，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，则点C的轨迹方程为______．

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已知A（-2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足|

|=2，

(

)．
（1）求点D的轨迹方程；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为

，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．

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点P是圆x²+y²=16上的一个动点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为D，Q为线段PD的中点．
（1）求点Q的轨迹方程．
（2）若经过点（-1，1）的直线与Q点轨迹有两个不同交点，求直线斜率的取值范围．

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如图，在圆C：（x+1）²+y²=25内有一点A（1，0），Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．

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已知椭圆与双曲线2x²-2y²=1共焦点，且过（

，0）
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

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